Zadanie 8 ze strony 177 podręcznika "Matematyka Z Plusem 4" dotyczy najczęściej rozwiązywania równań kwadratowych przy użyciu metody rozwiązywania przez grupowanie, wzorów skróconego mnożenia lub wykorzystania delty (Δ). Celem zadania jest znalezienie rozwiązań (pierwiastków) równania, czyli wartości zmiennej, które spełniają dane równanie.
Grupowanie wyrazów polega na takim przekształceniu równania, aby można było wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. To upraszcza równanie do postaci, gdzie łatwo odczytać rozwiązania. Jest to szczególnie przydatne, gdy nie występuje wyraz wolny lub gdy współczynniki umożliwiają łatwe grupowanie.
Wzory skróconego mnożenia, takie jak (a+b)² = a² + 2ab + b² oraz (a-b)² = a² - 2ab + b², pozwalają na szybsze rozłożenie równania na czynniki. Zauważenie takiego wzoru w równaniu znacząco upraszcza proces rozwiązywania.
Delta (Δ), obliczana jako Δ = b² - 4ac dla równania ax² + bx + c = 0, informuje o liczbie i rodzaju rozwiązań. Jeśli Δ > 0, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Jeśli Δ = 0, równanie ma jeden pierwiastek podwójny. Jeśli Δ < 0, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, lecz dwa pierwiastki zespolone.
Przykład 1: x² + 4x + 4 = 0 można rozwiązać, zauważając, że jest to (x+2)². Stąd x = -2 (pierwiastek podwójny).
Przykład 2: x² - 5x + 6 = 0. Można obliczyć Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 1. Wtedy x1 = (5-1)/2 = 2 i x2 = (5+1)/2 = 3.
Równania kwadratowe mają szerokie zastosowanie w fizyce (np. obliczanie toru lotu pocisku), inżynierii (np. projektowanie mostów) oraz ekonomii (np. modelowanie zależności między ceną a popytem). Zrozumienie metod ich rozwiązywania jest kluczowe w wielu dziedzinach.